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Viabilité, probabilités, induction

Noël Bonneuil
p. 71-84

Résumés

Quand le calcul des probabilités favorise la croyance en un devenir immédiat, la recherche opérationnelle, elle, prescrit une liste de commandes afin d’atteindre un objectif donné, en général en optimisant un certain critère. Le calcul par inclusion différentielle s’appuie, lui, sur le concept de directions contingentes sans poser de probabilité sur chacune d’elles, sans non plus rechercher une trajectoire optimale. Parmi les directions ouvertes à partir de l’état présent, certaines font perdre toute possibilité de se maintenir dans un ensemble donné. Les autres sont dites viables. Ce principe de maintien est décliné en principe d’acquisition lorsqu’il s’agit d’atteindre une cible et en principe de victoire dans les jeux dynamiques. La théorie du cycle de vie viable sert de cas exemplaire pour présenter ces idées dans une situation réaliste. La caractérisation des états par leur statut de viabilité permet de tracer une carte cognitive du futur, mais aussi du passé. Pour le passé, les preuves historiques se posent comme autant de contraintes, sans toujours réussir à ramener à un singleton l’ensemble des scenarii candidats à produire un fait historique.

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Texte intégral

L’induction, les probabilités

1Le calcul des probabilités résout-il le problème de l’induction, c’est-à-dire nous aide-t-il à poser des croyances sur des événements futurs et à prendre des décisions portant sur l’avenir ? Typiquement, l’économétrie des séries temporelles (des séquences de données mesurées à des instants successifs) est fondée sur la quantification de la mémoire du processus à l’aide de corrélations temporelles, c’est-à-dire d’associations statistiques entre la valeur du présent et celle du passé proche. Cette démarche lancée avec les travaux de George Box et Gwilym Jenkins (1976) repose sur une argumentation statistique et fréquentiste, selon laquelle ce qui s’est produit le plus fréquemment dans le passé a le plus de chance de se produire dans l’avenir immédiat. À un horizon temporel donné, la valeur prévue espérée s’accompagne d’intervalles de confiance dans lesquels la valeur de la série temporelle doit tomber avec une probabilité donnée. Ces intervalles dépendent du modèle utilisé et du passé de la série.

2Dans des situations de grande volatilité ou d’incertitude, ou bien dans des situations de décision, la connaissance du passé se révèle parfois de piètre utilité. Les décisions du passé ne nous renseignent que pauvrement ou pas du tout sur la direction à choisir. La théorie des probabilités, si efficace dans des situations de phénomènes répétés ou bien dans des situations éclairées par l’expertise, s’étiole rapidement quand il s’agit de prévoir des événements socio-économiques réels (et non pas stylisés). Les comportements humains mais aussi naturels restent rétifs à l’avis des experts et ne reproduisent que rarement les schémas du passé. Des auteurs comme Bertrand Roehner et Tony Syme (2002) formulent assez bien le rêve consistant à appliquer la loi statistique des grands nombres aux événements historiques. Ceux-ci se composeraient de petits « modules » ou de « mécanismes micro-historiques » fréquents, donnant au cours de l’histoire des airs de déjà-vu. L’histoire avancerait par paronymies, c’est-à-dire par séquences similaires de micro-événements qui différeraient dans les détails et les circonstances. Cela reste à voir. L’application du fréquentisme à la prévision de phénomènes historiques me semble bien artificielle (Bonneuil, 2004). On prête à la théorie des probabilités plus qu’elle ne peut donner. Le rapport des probabilités à la prévision dans des histoires à devenir est tout de même posé.

Les directions contingentes

  • 1 Un état peut être par exemple une situation économique (dont les coordonnées sont le niveau de cons (...)
  • 2 Nous avons été éduqués pour la plupart dans la conception d’une fonction associant un élément y à u (...)
  • 3 L’inclusion différentielle généralise l’équation différentielle autant que la correspondance généra (...)

3En sciences naturelles, Jean-Marc Levy-Leblond (2004) rappelle que tout système naturel est soumis à tant d’influences externes que son destin ne se plie guère à la prévision. Il élargit cette contingence aux situations historiques où intervient la liberté, c’est-à-dire des situations d’action. La capacité de changement à chaque instant n’étant pas infinie, le système se trouve à chaque instant t et en chaque état1 x(t) à la source d’un « éventail » de directions possibles, dont l’une doit être empruntée jusqu’à l’instant suivant t + dt en temps continu, t + 1 en temps discret. Ces directions ne pointent pas tous azimuts mais, parce que tout n’est pas faisable, occupent seulement une partie des directions possibles : on parle de directions « admissibles ». Appelons F(x(t)) l’ensemble de celles-ci. L’association de l’état x(t) à tout un ensemble, en l’occurrence F(x(t)), constitue une « correspondance »2. L’appartenance d’une direction x’(t) issue de x(t) à F(x(t)) s’appelle une « inclusion différentielle »3. Dans une situation de prise de décision, on n’en sait guère plus, car les événements passés, si jamais ils sont connus, n’engagent pas l’acteur à l’instant présent. C’est même parfois le contraire, notamment en stratégie et tactique militaires, où ce qui paraît impossible est le plus destructeur pour l’ennemi, ou dans la narration, où le public est captivé par les coups de théâtre, par l’imprévu.

4En temps continu, l’ensemble atteignable à l’instant t + dt à partir d’un état x(t) à l’instant t, où la durée dt est infinitésimale, est l’ensemble des états x(t + dt) atteints à partir de x(t) en suivant chacune des directions de l’ensemble F(x(t)) pendant la durée dt. À nouveau, de chaque état x(t + dt) éclot un ensemble atteignable F(x(t + dt)), de sorte que l’ensemble atteignable à t + 2dt à partir de x(t) sous la dynamique F est l’union de tous les ensembles atteignables issus chacun d’un état x(t + dt). En continuant ainsi cette progression dans le temps, on définit l’ensemble A(x(t) ; t + T) de tous les états atteignables au bout d’un temps T à partir de x(t). A(x(t) ; t + T) est aussi l’ensemble de tous les états x(t + T) à partir desquels il existe au moins une trajectoire atteignant x(t) au bout du temps T en temps inverse (Bonneuil, 2012a). Aucune probabilité n’est affectée à chacun des états atteignables. La probabilité est un luxe que, faute de connaissances, nous ne pouvons pas toujours nous permettre sur le futur. Nous avons simplement distingué, parmi les états possibles, ceux qui sont atteignables et ceux qui ne le sont pas. S’il s’agit de se prononcer sur l’avenir du système livré à lui-même, sans contrôle, en l’ignorance de toute autre règle de choix, on pourrait affecter une distribution de probabilités uniforme à chacune des directions à chaque instant. Vue d’un état donné, la probabilité d’une trajectoire future donnée, construite sur la succession des directions empruntées, décroît très rapidement avec l’horizon futur pour atteindre des valeurs infimes. L’intérêt de l’ensemble atteignable s’entend moins en termes de prévision qu’en termes de possibilité de joindre l’état initial à un état donné dans le futur. Le système est commandé, c’est-à-dire que les agents impliqués dans le système peuvent infléchir la trajectoire (en économie, les agents économiques réduisent ou augmentent leur consommation, ont des enfants ou en retardent la conception, l’État modifie l’âge de départ à la retraite, le nombre d’annuités, le montant des retraites, la fiscalité ou la valeur du salaire minimum ; en génétique, la migration ou la protection de porteurs d’allèles rares peut rétablir le polymorphisme ; en anthropologie, la décision de changer de campement pour les nomades dépendants des pâturages, la décision de se sédentariser pour éviter la disette,…). Encore reste-t-il à appliquer les commandes adéquates au cours du temps pour réussir le bon trajet. Le déroulé des commandes à appliquer ne suit pas nécessairement une procédure consciente, intentionnelle et organisée comme dans une procédure d’ingénierie. La plasticité des systèmes naturels (Bonneuil, 2003, 2012c et références dans ce texte), les soubresauts de l’histoire, la versatilité des individus (Bonneuil, 1994a, 1994b, 2000, 2010, 2013 ; Bonneuil et Boarini, 2004 ; Bonneuil et Saint-Pierre, 2008) déjouent les prévisions. Dans un domaine aussi apparemment lent que la démographie, personne n’avait prévu le baby-boom d’après-guerre, et beaucoup d’experts ont été surpris de la baisse durable de la fécondité à la fin des années 1960 (Bonneuil, 1989, 1994b). C’est en cherchant une représentation d’un indéterminisme inhérent au temps de l’histoire que je suis tombé sur cette mathématique des ensembles de directions contingentes. Il ne s’agissait pas d’appliquer une théorie existante, d’ailleurs totalement désincarnée à l’époque, et qui ne faisait que prolonger la théorie du contrôle. De manière paradoxale, l’acceptation de l’ignorance du futur et l’évitement de la structuration du temps par des probabilités s’avèrent fructueux dans le domaine des sciences humaines, mais aussi naturelles, en leur permettant de respecter la diversité et l’imprévisibilité des comportements. Ian Hacking (2002) rappelle que le « problème sceptique concernant le futur » vient du Traité de la nature humaine de David Hume publié en 1739 : « Il consiste à douter que l’on puisse trouver, parmi les faits connus relatifs à des objets ou à des événements passés, la moindre raison de croire quoi que ce soit sur des objets ou événements futurs » (Hacking, 2002, p. 239). Plus que le problème sceptique concernant l’induction, il s’agit d’un problème de liberté de l’action, c’est-à-dire de la place de l’inédit ou de l’inattendu.

5La notion d’ensemble atteignable a donc remplacé celle de trajectoire, celle d’inclusion différentielle celle d’équation différentielle, celle d’appartenance celle de probabilité. Au lieu d’une structure probabiliste posée sur le futur, chaque état qu’occupe tour à tour le système est assorti au temps T de sa propre liste des directions admissibles. Comment, parmi ce foisonnement, guider l’action ?

6Là où le calcul de probabilité produisait la distribution des fréquences, ou bien les issues les plus logiques, ou bien les issues dotées des plus grandes propensions, ou bien celles dotées d’un degré élevé de croyance rationnelle, selon la définition des probabilités à laquelle on se réfère, le chercheur opérationnel fournit (s’il y parvient) le chemin le plus favorable, celui le long duquel un coût est minimisé ou une utilité est maximisée. Dans un système commandé, le prescriptif remplace le probable. Comme nous l’avons vu, à chaque étape, plusieurs chemins sont possibles, de sorte que le nombre de trajectoires possibles croît très vite avec le nombre d’étapes. Énumérer celles-ci dépasse rapidement les possibilités des ordinateurs pour les problèmes un peu complexes. Les solutions sont obtenues grâce à la théorie des graphes et à la programmation linéaire dans le cas linéaire, à la théorie du contrôle de manière générale. Les probabilités et le hasard peuvent d’ailleurs intervenir, lorsqu’une décision mène à une distribution de probabilités d’états plutôt qu’à un état déterminé. Cela ne remet pas en cause l’idée de directions contingentes à chaque moment, dépourvues de probabilités susceptibles d’en guider le choix, menant chacune vers un état, probabilisé ou non.

Maintien, acquisition, victoire

7Le choix de l’action en sciences naturelles, en sciences sociales, et en particulier dans le temps de l’histoire, correspond-il à l’optimum de quelque critère ? Une abondante littérature en biologie ou en économie va dans ce sens : la nature retiendrait le plus adapté, et l’agent rationnel maximiserait son utilité. Cependant, si l’optimum est prescriptif, l’histoire et la nature montrent plutôt surprise, innovation, rébellion. C’est pourquoi, plutôt que de chercher à prédire le devenir des systèmes dynamiques, un principe plus élémentaire consiste à se demander comment ceux-ci réussissent ou échouent simplement à se perpétuer. Un poisson vivant aujourd’hui est-il le témoin que son espèce est la mieux adaptée à son environnement, ou bien est-il là parce que depuis des milliers d’années son espèce a réussi à survivre jusque-là ?

8Le principe d’optimum est remplacé par un principe de maintien au cours du temps. La propriété qu’il s’agit de maintenir (ou de laquelle il s’agit de s’échapper) correspond à un ensemble K dans l’espace d’états. Partant d’un état x, le maintien dans K pendant une durée T signifie la perpétuation de la propriété le long de la trajectoire issue de x. Ce critère conduit à distinguer les états dits viables desquels il existe au moins une trajectoire restant dans K des états dits non viables pour lesquels toutes les trajectoires quittent K avant que T ne soit écoulée. Oskar Perron (1915) démontre l’existence sous certaines conditions de solutions d’une équation différentielle qui restent dans un ensemble donné. Mitio Nagumo (1942) établit les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un système différentiel reste dans un ensemble donné. J. W. Bebernes et J. D. Schuur (1970) étendent ces conditions aux inclusions différentielles (ce qu’ils appellent « équations contingentes », p. 272), en montrant que, sous certaines conditions portant sur F et sur K, un état x est viable si le système peut emprunter des directions qui à la fois figurent dans F et pointent vers l’intérieur de K. Le maintien dans K s’exprime alors en termes locaux, fournissant ainsi une règle de choix d’action à chaque instant. Une étape marquante dans la théorie de la viabilité est celle où Piermarco Cannarsa et Halina Frankowska (1991) ont montré que la recherche du minimum d’un critère construit sur une période de temps, et dont la variable d’état suit une inclusion différentielle, se ramène à la recherche d’une partie du bord d’un plus grand ensemble viable. Le problème équivalent pour les maxima ne s’en déduit pas facilement, mais se résout aussi élégamment dans une autre partie de ce bord (Bonneuil, 2012b). La référence sur les correspondances est Rockafellar et Wets (2004) ; pour la mathématique de la viabilité, Necula et al. (2008 et les références dans cet article) ; pour l’optimisation sous inclusion différentielle, Frankowska (2001). Il existe d’autres ouvrages qui proclament la théorie de la viabilité mais qui sont incomplets ou coupés du monde. Bonneuil (2001, 2010) présente l’apport de la viabilité à la théorie de l’histoire.Le principe du maintien dans un ensemble K se décline en principe d’acquisition : on définit comme viables les états x à partir desquels il existe une trajectoire permettant d’atteindre un ensemble C donné. Cet ensemble joue le rôle d’une cible. Le principe de victoire/défaite dans un jeu dynamique découle également du concept du maintien dans des ensembles : dans tel jeu à deux joueurs (comme « le chat et la souris » ou « le chauffeur homicide »), chacun modifie sa trajectoire au sein des contraintes en fonction de la position de l’autre, cherchant à atteindre un ensemble synonyme de victoire et à éviter un autre ensemble synonyme de défaite. Un état viable est celui duquel part au moins une trajectoire où chacun des joueurs peut encore gagner. Bien d’autres considérations figurent dans la théorie des jeux dynamiques (Buckdahn et al., 2011). Le message dans cette présentation littéraire est que le principe de maintien/évasion se décline en principe d’acquisition/échec et de victoire/défaite.

9Ce principe demande une mathématique différente de celles employées dans les questions de convergence asymptotique, d’équilibre, de cycles, thèmes couramment abordés en sciences naturelles ou en économie. La difficulté provient de la multiplicité des directions et du fait que les réponses s’écrivent souvent de manière ensembliste, plutôt qu’en termes de trajectoire ou de valeur unique. Au lieu d’une trajectoire ou d’un point d’équilibre, la réponse au maintien d’un système dynamique dans un ensemble K de contraintes donné est un ensemble d’états initiaux de chacun desquels part au moins une trajectoire restant dans K. Chaque lieu occupé par le système à chaque instant est le théâtre d’une bataille contre les autres, contre l’environnement, contre le temps qui court. Son issue n’est pas déterminée à l’avance, mais celle-ci conditionne ce qu’on peut espérer de l’avenir, selon que le système est encore viable en x(t + dt) ou non. Tant que le système gagne ses batailles de viabilité, c’est-à-dire qu’il emprunte une direction viable, l’espoir de se maintenir dans K subsiste. Si la mauvaise décision entraîne la perte irrémédiable, c’est l’exil hors de K. Le retour n’est rendu possible que si les règles du jeu sont changées, ou bien c’est Sainte-Hélène sans espoir de retour. Une question profonde de la théorie économique cristallise bien le changement de perspective opéré par la viabilité et mérite, pour rendre ce texte plus concret, que je la développe un peu.

La viabilité du cycle de vie

10La théorie économique usuelle du cycle de vie s’appuie sur la maximisation d’une utilité inter-temporelle pour stipuler comment, afin d’être le plus satisfait possible, un agent devrait consommer au cours de sa vie, combien il devrait épargner pour sa retraite, combien d’enfants il devrait avoir et quand ceux-ci devraient naître. Un tel cadre revient à attribuer beaucoup de clairvoyance à l’agent économique. Le cumul des expériences de vie portées par de nombreux individus appartenant à des générations multiples et la normalisation de la vie sociale feraient que chaque personne finirait par adopter même sans s’en rendre compte le comportement optimal. La diversité observée des parcours de vie viendrait de l’hétérogénéité des préférences. Cependant, cette théorie de l’agent représentatif optimisateur marche assez mal sur des données réelles (voir bibliographie dans Bonneuil et Saint-Pierre, 2010).

11Voyons les choses autrement (Bonneuil et Saint-Pierre, 2010) : à chaque instant de sa vie, un agent doit prendre des décisions sur sa vie professionnelle, familiale, patrimoniale. S’il est très intelligent ou rompu au calcul économique, il maximise son utilité, en effet. Sinon, s’il est moins averti et qu’il se comporte dans un horizon à courte vue, voire de manière irrationnelle, la direction qu’il emprunte est incertaine, mais il ne peut pas tout se permettre non plus : il ne peut pas s’empêcher de vieillir ; il peut rarement augmenter son revenu de manière spectaculaire, surtout si cet individu est représentatif d’une population ; ses années de procréation normalement sont comptées (surtout s’il s’agit d’une femme) ; les enfants déjà nés devraient être nourris et éduqués, etc. Quand bien même les directions empruntées présentent une distribution de probabilités (construite sur les fréquences, sur les avis des experts, sur l’intuition), certaines directions peu usitées peuvent être celles qui seront choisies et, inversement, des modes de vie traditionnels peuvent être abandonnés. Le répertoire d’actions n’est pas monocorde : l’effort, l’éducation, la mobilité géographique ou professionnelle, les changements de vie affective et familiale, voulus ou non, pointent autant de directions possibles à chaque instant de la vie. Dans ces conditions, la trajectoire de vie, qui démarre dans l’ensemble atteignable le plus grand de toute la vie, celui envisagé à la naissance, se réifie peu à peu, au fur et à mesure du déroulement effectif du temps. L’ensemble atteignable à chaque âge va se rétrécissant comme peau de chagrin. Relativement à un aboutissement donné, ex ante ou ex post, par exemple constitué de deux enfants, d’une consommation au cours de la vie supérieure à un profil donné, et d’un certain capital à atteindre au moment du départ à la retraite, on peut délimiter dans l’espace d’états le sous-ensemble à partir duquel un tel programme est faisable et, de manière complémentaire, l’ensemble d’états à partir duquel ce programme n’a aucune chance d’être mené à bien. Tant que l’individu (c’est-à-dire le système démographique-économique qu’il constitue) reste dans un ensemble viable par rapport au programme donné, il dispose d’une commande (multidimensionnelle : avoir un enfant, ne pas en avoir, épargner, s’endetter, consommer, survivre) qui lui permet demain de disposer à nouveau d’une commande viable qui lui permet après-demain, etc., de sorte qu’il peut fabriquer une trajectoire qui le mène à la réalisation du programme donné. Si, au cours de sa vie, il laisse passer l’occasion d’exercer une bonne commande au bon moment, alors c’en est fini du programme donné, mais il peut se rabattre sur un autre programme moins exigeant, comme avoir moins d’enfants, consommer moins, ou épargner moins pour la retraite. Les âges auxquels avoir les enfants peuvent être optimaux en termes d’utilité économique, dans le cas d’un agent rationnel.

12Cependant, même sans être optimal, l’agent peut tout aussi bien réussir le programme. Cet agent navigue, emmené par l’âge qui avance, alimenté par son revenu et le produit de ses placements financiers (même si ceux-ci proviennent de son conjoint), dans un espace d’états constitué de consommation, patrimoine et famille. Il gère, c’est-à-dire commande, habilement ou en dépit du bon sens, sa consommation et celle des personnes dont il a la charge, en faisant en sorte de rester au-dessus d’un profil de consommation donné au cours des âges de la vie ; il thésaurise, ou non, pour sa retraite ; il nourrit une famille plus ou moins nombreuse. La délimitation dans cet espace d’états des plus grands ensembles d’états viables pour un programme donné identifie sa marge de manœuvre, sa liberté d’action, son droit à la sous-optimalité et son droit à changer (consciemment ou non) de programme en cours de vie.

13La prise en compte de tous les états possibles permet d’éviter l’hypothèse de l’agent représentatif et l’idée que les décisions sont prises en maximisant une utilité inter-temporelle. Il est toujours loisible de tracer les comportements les plus fréquents dans cet espace d’états, ou bien de situer le comportement d’utilité optimale.

Carte cognitive

14Probabilités et viabilité ne sont pas antinomiques, elles ne parlent pas de la même chose : les unes ont trait au risque d’occurrence tandis que l’autre concerne les bons moyens à mettre en œuvre au bon moment au bon endroit. La probabilité qu’un individu occupe un état viable à un moment donné et agisse de manière viable à cet instant est un renseignement en sus, sociologique, alors que la carte des états viables et leurs répertoires de commandes associés est d’ordre opérationnel et prescriptif, pas descriptif. Au contraire, l’ignorance de la façon dont l’agent va réellement se comporter est au fondement de l’inclusion différentielle gouvernant sa navigation dans l’espace d’états. La carte qu’il utilise pour cette navigation est une carte cognitive.

15En outre, au lieu de décrire l’hétérogénéité de la population par des distributions de probabilités, chaque état est traité comme une situation possible, et le résultat est l’attribution du statut viable ou non viable. Le coût de cette perspective est de devoir traiter l’espace d’états dans toute sa multi-dimensionnalité, de manier des ensembles au lieu de distributions de probabilités, d’équilibres ou d’optima. Il n’est pas besoin de spécifier la consommation et le changement affectant l’épargne comme des lois stochastiques, dont nous n’avons connaissance que par des observations passées. Nous évitons l’artifice de faire dépendre a priori les décisions des variables d’état (on parle de décisions « endogènes »), comme c’est la pratique courante en économie : le statut de viabilité variant au fil des contraintes posées dans l’espace d’états, les commandes trouvent leur dépendance aux variables d’état seulement a posteriori, de la nécessité de rester dans un ensemble de contraintes K, ou de s’en échapper, et d’atteindre une éventuelle cible C.

Incertitude vers le passé

16Je voudrais montrer que cette carte du temps que dresse la discrimination viable / non viable concerne moins le futur que le problème du temps et de l’incertain. Notre connaissance du passé dépend des traces qui en sont parvenues jusqu’à nous, traces qui peuvent s’avérer elles-mêmes ambiguës, voire falsifiées. Sans archive aucune, la construction de l’ensemble atteignable peut apparaître symétrique entre passé et futur. Cependant, les documents que nous avons du passé contribuent à contraindre et à réduire l’ensemble atteignable en temps inverse. Prenons le risque de traiter des cas concrets.

17La distribution par âges calculée sur les ossements trouvés dans un ancien cimetière nous renseigne-t-elle sur la démographie du passé ? Les sites bien étudiés comptent le cimetière de Saint Thomas, Ontario, dont les tombes datent de la période 1821-1874, et celui de Dallas, Texas, de 1869 à 1907 (bibliographie dans Bonneuil, 2005). Pour répondre à cette question, la stratégie adoptée a été soit d’ajuster à cette distribution une population modèle correspondant à une fécondité et une mortalité constantes, ce qu’on appelle une population stable, soit d’ajuster un modèle où les variations dans le temps de la fécondité et de la mortalité sont spécifiées. Cette méthode des scenarii, qui consiste à lancer des trajectoires particulières, a peu de chance de rendre compte des fluctuations réelles de la fécondité et de la mortalité dans le passé (Bonneuil, 1990). Quelle connaissance a priori avons-nous des populations qui nous ont légué ces ossements ? Aucune connaissance précise, si ce n’est que la fécondité devait varier dans un certain intervalle, ainsi que la mortalité. Les fluctuations d’une année à l’autre sont inconnues. Est-ce à dire que ces données sont inexploitables ? Elles nous renvoient au moins à l’ensemble atteignable en temps inverse à partir de la distribution observée des ossements classés par âges, qui est aussi le domaine de capture de la cible constituée par cette distribution. Cela n’empêche pas de donner, au sein de cet ensemble, le chemin démographique présentant le minimum de variations (Bonneuil, 2005).

18Aventurons-nous dans un temps encore plus lointain, pour lequel l’incertitude sur les fluctuations démographiques est encore plus irrémédiable. La diversité génétique résulte d’une longue histoire démographique. Pour faire simple, la probabilité que deux individus aujourd’hui aient le même ancêtre commun il y a t générations diminue d’autant que la population passée a été nombreuse. Lorsque j’ai découvert ce problème en 1995, certains auteurs montraient qu’une croissance brutale de la population il y a 50 000 ans produisait bien l’hétérogénéité génétique actuelle dans un échantillon d’ADN mitochondrial prélevé parmi 69 Sardes. Et la génétique rencontrait la révolution de l’agriculture. Cependant, d’autres auteurs montraient que le hasard des recombinaisons génétiques dans une population constante expliquait tout aussi bien cette diversité. Le problème des scenarii est que ceux-ci peuvent endosser tous les fantasmes, surtout quand il s’agit de démographie. Nous n’avons que peu de renseignements sur les petites populations utilisées dans ce genre d’étude. On attend qu’elles fussent fermées aux migrations pendant des millénaires, comme a pu l’être la population des Pygmées, des anciens Eskimos, des anciens Sardes. Nous ne disposons que de rares statistiques sur la population de Sardaigne vers l’an 1500, et les chroniqueurs rapportent une chute brutale après la famine de 1680. Cependant, à l’échelle des dizaines de milliers d’années que prend le processus de mutations génétiques, ces connaissances sur le passé immédiat ne servent que très faiblement à réduire l’ensemble atteignable en temps inverse.

19J’ai proposé de considérer l’hétérogénéité génétique observée aujourd’hui comme une cible dans l’espace d’états adéquat, et de délimiter le domaine de capture de cette cible, c’est-à-dire l’ensemble de tous les états à partir desquels il existe une trajectoire produisant in fine cette hétérogénéité (Bonneuil, 1998). La commande est la croissance démographique. Même si nous comptons large, le domaine de capture est assez étroit. Il inclut la croissance nulle, mais aussi des courbes à croissance brutale, toute une myriade de sentiers démographiques, ayant en commun que le calendrier de leur croissance aboutit en 1995 à l’hétérogénéité génétique observée.

20Nous avons donc substitué aux divers scenarii candidats l’ensemble de tous les sentiers produisant la cible. La réponse est ensembliste, ce qui nous frustre d’une réponse sous forme d’une trajectoire sinon bien identifiée, du moins qui raconte une histoire. C’est que l’observation du présent n’est parfois pas suffisante pour déterminer le passé sans ambiguïté. Aurait-on de nouveaux renseignements sur le passé lointain qu’on pourrait réduire ce domaine de capture, puisque celui-ci devrait nécessairement passer par ces nouvelles traces que la trajectoire aurait laissées.

L’incertain épistémique du temps passé, l’incertain ontique du temps futur

21Le voile d’ignorance qui recouvre le passé, dû à l’effacement des traces, se traduit par un ensemble atteignable en temps inverse plutôt que par une trajectoire bien identifiée. Cet ensemble renferme de multiples trajectoires enchevêtrées aboutissant à l’instant présent et respectant toutes les preuves historiques disponibles, éventuellement avec leur halo d’incertitude et d’interprétations. L’ignorance du futur fait comme s’épanouir l’état présent en de multiples devenirs. Cependant, passé et futur cessent d’être symétriques au fur et à mesure que les preuves sur le passé, en contraignant l’ensemble atteignable en temps inverse, réduisent celui-ci d’autant.

22Il faut ajouter au chapitre de l’incertitude sur le futur et sur le passé celle sur le présent : l’état présent peut être connu de manière imprécise ou indirecte. Au lieu de sa valeur x(t), on ne parvient qu’à circonscrire un ensemble P(t) qui le contient. C’est l’ensemble P(t) au lieu de l’état x(t) qui se meut dans le temps, avec ses propres contraintes et sa propre liberté : c’est ce qu’on appelle les équations mutationnelles (Gorre, 1997 ; Bonneuil, 2013). Typiquement, en météorologie, discipline riche en incertitude et combien préoccupée de prévision, Wendy S. Parker (2010) signale trois sources majeures d’incertitude rencontrées dans la simulation du climat : celle portant sur les conditions initiales (une erreur même infime peut créer une déviation imprévisible à moyen terme, c’est la sensibilité aux conditions initiales caractérisant le « chaos déterministe »), l’incertitude structurelle (les modèles mathématiques ne sont pas exacts) et celle portant sur les paramètres utilisés (les mesures sont imparfaites). Cet auteur reconnaît que d’autres options existent que les distributions de probabilités pour véhiculer l’incertitude portant sur les changements de l’avenir. Lorsque les sources d’incertitude sont mal comprises, il est plus avisé de n’offrir qu’un simple ensemble dans lequel la valeur d’une variable à prédire se trouvera.

23Pierre Saint-Germier, qui codirige ce numéro de Tracés, se demande si l’ouverture vers plusieurs passés possibles correspond à des possibilités épistémiques – en rapport avec la connaissance – ou ontiques – dans l’idée qu’il y aurait une multiplicité des êtres. Je souscris volontiers à sa suggestion que la symétrie apparente dans le formalisme entre passé et futur ne correspond pas à une symétrie dans l’interprétation de l’ouverture des ensembles atteignables vers le passé ou vers le futur. La connaissance de sous-ensembles de l’espace d’états par lesquels doit passer le système dans le passé, plus rarement dans le futur, impose une restriction sur l’ensemble atteignable, et donc relève d’une démarche épistémique. En direction du futur toutefois, la multiplicité d’histoires possibles créée par la variation possible et indéterminée d’un nombre fini de commandes est intrinsèque à la dynamique et donc s’apparente à une compréhension ontique des trajectoires futures.

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Bibliographie

Bebernes J. W. et Schuur J. D., 1970, « The Wazewski topological method for contingent equations », Annali di Matematica Pura ed Applicata, vol. 87, p. 271-280.

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Notes

1 Un état peut être par exemple une situation économique (dont les coordonnées sont le niveau de consommation, le montant de l’épargne, le degré d’instruction, l’état civil, le nombre, le sexe et l’âge des enfants…), ou bien l’état de santé (coordonnées : âge, comportement à risque, constitution physiologique, qualité de l’environnement), le degré d’allégeance à un parti politique, la probabilité que vous et moi ayons un ancêtre commun il y a g générations, l’abondance d’un trait phénotypique, etc.

2 Nous avons été éduqués pour la plupart dans la conception d’une fonction associant un élément y à un élément x. Une correspondance, plus générale, associe un ensemble à un élément x. La notion a été établie par Maurice Fréchet en 1909 (traduction en anglais : correspondence, set-valued map, ou point-to-set map).

3 L’inclusion différentielle généralise l’équation différentielle autant que la correspondance généralise la notion de fonction. La direction x’(t) de la variable d’état x(t) n’est plus spécifiée par une égalité x’(t) = f(x(t)), mais par l’appartenance à un ensemble F(x(t)), où F est une correspondance.

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Pour citer cet article

Référence électronique

Noël Bonneuil, « Viabilité, probabilités, induction », Tracés. Revue de Sciences humaines [En ligne], 24 | 2013, mis en ligne le 01 janvier 2017, consulté le 18 août 2017. URL : http://traces.revues.org/5637 ; DOI : 10.4000/traces.5637

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Droits d’auteur

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